Oberseminar Lie-Theorie (AG Hilgert)
Das Oberseminar findet in der Regel donnerstags 14 - 16 Uhr in N5.101 statt (bei Terminkonflikten mit anderen Vorträgen kann die Uhrzeit auch mal verändert werden) . Die Themen orientieren sich an den aktuellen Forschungsinteressen der Arbeitsgruppenmitglieder. Ein verbindender Aspekt ist dabei in der Regel die Existenz von vielen Symmetrien in den untersuchten Objekten, was den Titel Lie-Theorie rechtfertigt. Die einzelnen Vorträge können aber durchaus vorrangig funktionalanalytischer, zahlentheoretischer oder auch differentialgeometrischer Natur sein.
Vorläufiges Programm für das WS 2004/2005 (Oktober 2004 bis März 2005; Stand 2.3.2005):
Do 7.10., 14:15 Uhr
S. Hansen (Paderborn): Fortpflanzung von Singularitäten II
Es handelt sich um die Fortsetzung des Vortrags vom 28.9. (siehe hier). Besprochen werden zwei Beweisvarianten für den Hörmanderschen Satzes von der Fortpflanzung von Singularitäten.
Do 14.10., 14:15 Uhr
J. Hilgert (Paderborn): Quanten-Monodromie und semiklassische Spurformeln
Dieser Vortrag wird eine Einführung in die Arbeit "Quantum monodromy and semiclassical trace formulae" von J. Sjöstrand und M. Zworski (siehe http://math.berkeley.edu/~zworski/older.html ), in der mit semiklassischen (mikrolokalen) Methoden Spurformeln (wie die von Selberg oder Gutzwiller) bewiesen werden.
Do 21.10 14:15 Uhr
Dieser Termin entfällt zugunsten der Habilitationsvorträge von Herrn Dr. Kussin (14:00 Uhr in D1.328)
Do 28.10., 14:15 Uhr
A. Pohl (Paderborn): Fast-effektive Abschätzung von Periodenlängen der Kettenbruchentwicklung quadratischer Irrationalzahlen
Die Klassenzahlformel zeigt einen engen Zusammenhang zwischen der Klassenzahl und der Grundeinheit eines reell-quadratischen Zahlkörpers. Weiterhin ist ein expliziter Zusammenhang zwischen der Periodenlänge der Kettenbruchentwicklung eines irrationalen Elementes des betrachteten Zahlkörpers und der Grundeinheit bekannt. Die Verbindungen zwischen diesen Objekten wird kurz erläutert und dann eine neue obere Abschätzung für die Periodenlänge einer quadratischen Irrationalzahl vorgestellt.
Do 4.11., 14:15 Uhr
F. Rilke (Paderborn): Unendliche Determinanten
Während es im Endlichdimensionalen nur eine Determinantenfunktion gibt, die für alle Matrizen definiert ist, hat man im Unendlichdimensionalen viele Definitionsmöglichkeiten und nicht allen Operatoren kann ein Determinantenwert zugeordnet werden. Der Vortrag gibt eine am Buch von Gohberg, Goldberg, Krupnik orientierte Einführung. Ausgehend von Operatoren endlichen Ranges F(B) wird die dort erklärte Determinante auf stetig eingebetteten Unteralgebren mit Approximationseigenschaft der beschränkten linearen Operatoren auf B fortgesetzt. Als Beispiele für solche Algebren dienen die Schattenklassen S_p(H) und regularisierte Determinanten sowie als Ausblick die ausgehend von nicht-spektralen Spuren definierten Atiyah'schen flat- sowie Ruelle'schen sharp- und counting-Determinanten und ihr Zusammenhang zur Ruelle'schen dynamischen Zetafunktion.
Do 11.11., 14:15 Uhr
E. Kaniuth (Paderborn): Induzierte Darstellung für lokalkompakte Gruppen I
Ist H eine abgeschlossene Untergruppe einer lokalkompakten Gruppe G, so kann man jeder unitären Darstellung von H eine ebensolche von G zuordnen, die sogenannte induzierte Darstellung. Es werden dieser Prozeß des Induzierens sowie seine wesentlichen Eigenschaften erläutert. Darüber hinaus soll der Imprimitivitätssatz vorgestellt werden, in dem es um die Frage geht, wann eine Darstellung von G als induzierte Darstellung realisiert werden kann.
Do 18.11., 14:15 Uhr
E. Kaniuth (Paderborn): Induzierte Darstellung für lokalkompakte Gruppen II: Mackey-Analysis
Die von Mackey entwickelte und auf dem Imprimitivitätssatz basierende Theorie erlaubt es, unter geeigneten Voraussetzungen alle (bis auf Äquivalenz) irreduziblen Darstellungen einer lokalkompakten Gruppe G zu gewinnen durch Induktion irreduzibler Darstellungen "kleiner" Untergruppen. Die Methode wird an konkreten Beispielen illustriert.
Do 2.12., 14:15 Uhr
A. Alldridge (Paderborn): Der Transferoperator als Werkzeug in der diskreten Wavelet-Transformation
In der Theorie der diskreten Wavelet-Transformation gibt eine kanonische Konstruktion von Skalierungsfunktionen. Neben Grundeigenschaften, wie Erzeuger einer Mehrfachauflösung (multi-resolution analysis) - also ein Vaterwavelet - zu sein, spielt dabei, insbesondere in Anwendungen, die Frage nach der Regularität der Skalierungsfunktion eine Rolle. Mit Hilfe der Methode von Paley-Littlewood können Regularitätskriterien angegeben werden, die auf die Eigenwerte des auch aus anderen Bereichen wohl bekannten Transferoperators Rekurs nehmen. Es stellt sich heraus, dass der Transferoperator das geeignete Werkzeug ist, um hinreichende Kriterien auch für weitere erwünschte Eigenschaften der Skalierungsfunktion, wie etwa die Invarianz unter geeigneten endlichen Untergruppen der GL(n,R), anzugeben. Gegenstand des Vortrags ist eine Einführung in und ein Überblick über diese Zusammenhänge.
Do 9.12., 14:15 Uhr
Prof. M. Mathieu (Belfast): Die Struktur von Lie Derivationen auf C*-Algebren
Während die Struktur von Lie Abbildungen (Lie Derivationen und Lie Isomorphismen) im rein algebraischen Rahmen bereits seit den Arbeiten von Herstein Anfang der 1960er intensiven Studien unterzogen wurde, sind erst in neuester Zeit wesentliche Resultate im Rahmen von Banachalgebren oder C*-Algebren gefunden worden. In unserem Vortrag berichten wir insbesondere über eine gemeinsame Arbeit mit A.R.Villena (Granada), welche im JFA 2003 erschien, in welcher wir die Struktur nicht notwendig beschränkter Lie Derivationen auf C*-Algebren vollständig beschreiben. Diese basiert wesentlich auf Vorarbeiten in unserem Buch mit P. Ara (Barcelona), "Local Multipliers of C*-Algebras" (Springer-Verlag 2003).
Do 16.12., 14:15 Uhr
T. Johansen (Paderborn): Selberg's Spur-Formel und Quanten-Chaos
Classical mechanics is often, informally, seen as 'quantum mechanics in the limit where Planck's constant becomes small', a principle already present in the early work of Bohr and Sommerfeld. An explicit manifestation of this principle is provided through Gutzwiller's trace formula which is an asymptotic estimate on the eigenvalues of the stationary Schrödinger operator for a quantum mechanical particle moving freely on a surface with constant negative curvature. Gutzwiller observed that the formula looked like the Selberg trace formula, but he only provided a heuristic "proof". We will take the opposite approach; using the Poisson summation formula on the unit circle, resp. the unit sphere, we derive the Selberg trace formula and then introduce the notion of "semiclassical analysis" in order to prove Gutzwiller's formula, armed with results by Duistermaat and Guillemin (regarding the spectrum of elliptic operators). The notion of quantum chaos thus re-emerges within the mathematical framework of the trace formula, and we meet the 'ghost of the sphere'. Conversely, the Selberg Zeta function is being expressed in terms of the eigen-energies of the quantum system.
Am 7. und 8.1. findet das Seminar Sophus Lie in Paderborn statt
Am Dienstag, den 18.1.2005 um 17:45 Uhr findet im Rahmen des Fakultätskolloquiums im Hörsaal D2 ein Vortrag von Prof. K. Schmidt (Universität Wien) zum Thema Algebraische Dynamische Systeme statt
Mi 19.1.2005. (Sondertermin in N2.228)
9:15 Uhr: Dr. T. Mühlenbruch (Clausthal): From Group Cohomology to Transfer Operators for Hecke Triangle Groups
For an integer $n \geq 3$ consider the Hecke triangle group $\Delta_n$ as subgroup of the $\mathrm{PSL}(2,\mathcal{Z})$ generated by the elements \[ S=\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \qquad \mbox{and} \qquad U=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & \lambda_n \end{array} \right) \] with $\lambda_n = 2 \cos (\pi / n)$. The generators $S$ and $U$ satisfy the relation $1=S2=U^n$. On one hand we consider the group cohomology $H1(\Delta_n,M)$ where $M$ is a $\C[\Delta_n]$-module. On the other hand David Fried constructed a transfer operator for the "Hecke triangle group". We will show that certain representations of the group cohomology of $\Delta_n$ give solutions of the transfer operator with Eigenvalue $\pm 1$.
11:15 Uhr: Prof. D. Mayer (Clausthal): Ein neuer Zugang zu den Periodenfunktionen für $\Gamma_0(n)$.
In dem Vortrag wird die Konstruktion von Lösungen der Lewis-Zagier Gleichung mithilfe einer Integraltransformation diskutiert.
Do 20.1.2005, 14:15 Uhr
Prof. W. Soergel (Freiburg): Die Andersen-Jantzen-Filtrierung auf Homomorphismenräumen von Verma-Moduln zu Kippmoduln
Es handelt sich hierbei um eine Variante der Jantzen-Filtrierung im Kontext der Kippmoduln. Wir erklären und beweisen ein Analogon der Jantzen-Vermutung in diesem Kontext mithilfe des harten Lefschetzsatzes für Schnittkohomologie.
Do 27.1.2005, 14:15 Uhr
Prof. S. Hansen (Paderborn): Das Spektrum des Laplace-Operators und periodische Geodätische
Das Spektrum der Quadratwurzel des Laplace-Beltrami-Operators einer kompakten Riemann'schen Mannigfaltigkeit ohne Rand besteht aus einer gegen Unendlich konvergenten Folge von Eigenwerten. Die Summe der in den Eigenwerten konzentrierten Dirac-Maße heißt Spektralfunktion. Chazarain (1974) und Duistermaat-Guillemin (1975) zeigten Spurformeln, die Beziehungen zwischen den Singularitäten der Fourier-Transformierten der Spektralfunktion und den periodischen Geodätischen herstellen. Diese Formeln sieht man als Verallgemeinerungen der klassischen Poisson'sche Summationsformel an. Ihr Beweis basiert auf den Methoden der mikrolokalen Analysis. Der Vortrag führt durch den Beweis und illustriert dabei den Gebrauch von mikrolokaler Analysis. Konsequenzen der Spurformeln für die Eigenwertasymptotik werden erläutert. Schließlich wird ein Ausblick auf weitere Resultate zur Spektralasymptotik gegeben.
Do 3.2.2005, 14:15 Uhr
Prof. K.H. Neeb (Darmstadt): Tripel im Shilovrand beschränkter symmetrischer Gebiete
Ist D ein endlichdimensionales beschränktes symmetrisches Gebiet, so wirkt die Einskomponente G der Automorphismengruppe von D ebenfalls auf dem Shilovrand von S. In dem Vortrag wird gezeigt, wie man die Bahnen von G im Raum S^3 der Tripel im Shilovrand klassifiziert. Fuer den Fall, dass D die Einheitskugel im Raum der $n \times n$-Matrizen ist, ist U(n) der Shilovrand, und wir zeigen, dass sich Tripel unitärer Matrizen simultan unter der Wirkung von U(n,n) durch Moebiustransformationen diagonalisieren lassen.
Mi 16.2.2005, 14:15 Uhr
A. Alldridge (Paderborn): Elemente einer Indextheorie für Algebren von Wiener-Hopf-Operatoren auf konvexen Kegeln
Die Lösbarkeit der klassischen Wiener-Hopf-Gleichung (auf der positiven reellen Achse) lässt sich im Rahmen von Operatoralgebren und mit Hilfe der Fredholm-Indextheorie auf überzeugende Weise behandeln. Dieser abstrakte Rahmen führt zu weitreichenden multivariaten Verallgemeinerungen dieser Operatoren (auf konvexe Kegel bzw. noch allgemeinere Halbgruppen), sowie zu einer elaborierten Strukturtheorie der zugehörigen C^*-Algebra. Besonders zu erwähnen ist hierbei der Gruppoid-Zugang, der von Muhly-Renault vorgeschlagen und von Nica und Hilgert-Neeb präzisiert und erweitert wurde. (Die von Upmeier und Dynin erzielten Resultate bedienen sich grundlegend anderer Methoden.) Weithin offen geblieben ist bislang die Frage nach der Indextheorie verallgemeinerter Wiener-Hopf-Algebren. Eine Ausnahme bilden die vollständigen Ergebnisse von Upmeier für symmetrische Kegel. Für wichtige große Klassen von Kegeln, wie etwa die polyedrischen Kegel, ist fast nichts bekannt. Wir berichten über gemeinsam mit Troels Johansen unternommene Untersuchungen in diese Richtung.
Do 24.2.2005, 14:15 Uhr
B. Schmalfuß (Paderborn): Zufällige dynamische Systeme
Die Theorie der dynamischen Systeme beschäftigt sich mit dem Studium des qualitativen Langzeitverhaltens von (autonomen) Differential- beziehungsweise Differenzengleichungen. Dabei spielen Begriffe wie Fixpunkt, Attraktor, invariante Mannigfaltigkeit, Bifurkation, Hausdorff-Dimension,... eine wichtige Rolle. In der Theorie der zufälligen dynamischen Systeme werden Differential- beziehungsweise Differenzengleichungen unter dem Einfluss von ergodischen Störungen betrachtet. Dabei muss eine sinnvolle Erweiterung der oben genannten Begriffe für die ergodische Situation gegeben werden. Im Vortrag sollen weiterhin einige spezielle Probleme bezüglich ihrer Dynamik untersucht werden, wie zum Beispiel die stochastische 2D Navier-Stokes Gleichung.
Do 3.3.2005, 14:15 Uhr
M. Lampe (Clausthal): Atkin-Lehner Theorie für Maaß-Wellenformen
Die Atkin-Lehner Theorie wurde ursprünglich für holomorphe modulare Formen entwickelt und macht Strukturaussagen über den Raum der automorphen Formen bzgl. Kongruenzuntergruppen der modularen Gruppen auf der oberen Halbebene. Weitreichende gruppentheoretische Verallgemeinerungen dieser Theorie benützen die unitäre Darstellungstheorie der GL_2 über dem Adelring. In diesem Vortrag wird gezeigt, wie man die Atkin-Lehner Theorie parallel zur holomorphen Theorie auch für Maaßformen relativ elementar entwickeln kann.
Do 10.3.2005, 14:15 Uhr
J. Hilgert (Paderborn): Automorphe Faktoren für GL(2)
In ihrer einfachsten Form sind die automorphen Faktoren von GL(2) von der Form f(g,z)=(cz+d)^k, wobei g eine 2x2-Matrix ist, (c,d) die zweite Zeile von g, z eine komplexe Variable und k eine ganze Zahl. Automorphe Faktoren erfüllen Kozykelbedingungen, was in der Darstellungstheorie und der Theorie der automorphen Formen von zentraler Bedeutung ist. In verschiedensten Anwendungen stellt sich die Notwendigkeit heraus, den Parameter k auch komplex und den Parameter z nicht nur in der oberen Halbebene wählen zu dürfen. Tut man dies einfach durch analytische Fortsetzung der Formel mit einem Zeig des Logarithmus, zerstört man die Kozykeleigenschaft. In diesem Vortrag wird erklärt, wie man den automorphe Faktoren kanonisch zu Kozyklen mit Werten in einer nichtkommutativen Gruppe fortsetzt.
Das Programm vergangener Semester: Sommer 2004
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