Vorlesung Angewandte Hyperkomplexe Funktionentheorie II

Dozent: PD Dr. Sören Kraußhar
Zeit und Ort der Vorlesung:
Mittwoch 14.05 Uhr bis 15.35 Uhr, Raum A3-301
Starttermin: 14. April 2010
Sprechzeiten:
Freitag 10.15 Uhr bis 11.15 Uhr

Vorlesungsinhalte

1. Funktionentheorie der Eigenfunktionen zum Dirac-Operator im R3

2. Funktionenraeume und Integraloperatoren

3. Die Maxwellschen Gleichungen und Helmholtz-Gleichungen

4. Die inkompressiblen magnetohydrodynamischen Gleichungen

5. Aktuelle Forschungsgebiete 

Beschreibung

Partielle Differentialgleichungen beschreiben hochkomplexe Prozesse in der Physik und den modernen Ingenieurswissenschaften. Zu den bisher noch teilweise ungelösten Milleniumproblemen gehören Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen für nicht-lineare strömungsdynamische und elektromagnetischer Prozesse, die durch die Navier Stokesgleichungen bzw. durch die Maxwellschen Gleichungen beschrieben werden.

Insbesondere ist man sehr an Kopplungen des Navier-Stokes-Systems mit der Wärmeleitungsleichung und den Maxwellschen Gleichungen (im Rahmen der Magnetohydrodynamik) interessiert.

Ein besseres Verständnis der Theorie würde einen erheblich Fortschritt in der Entwicklung von effizienten und stabileren Berechnungs- und Simulationsverfahren liefern.

Die bisher existierenden Methoden liefern oft nur in besonderen Fällen brauchbare Resultate. Zum Beispiel in der Simulation real existierender magnetohydrodynamischer Phänomene im Sonnenplasma stellen die großen Entfernungsskalen ein Problem dar, da bisherige Methoden auf die Verwendung von sehr kleinen Zeitschrittweiten basieren.

In dieser Vorlesung bieten mittels einem neuartigen Zugang solche komplexe Systeme von Differentialgleichungen. Wir benutzen moderne Methoden aus der hyperkomplexen Funktionentheorie, die ein weltweit aktuelles und schnell wachsendes Forschungsgebiet darstellt.

Mit Hilfe von hyperkomplexen Differential- und Integraloperatoren gewinnen wir neue theoretische Resultate über die Struktur und Regularität der Lösungen zu diesen komplexen Systemen. Ferner bekommen wir explizite Lösungsdarstellungen in Form dieser Operatoren, die wir dazu verwenden können, um neue Berechnungsalgorithmen bereitzustellen.

Diese Vorlesung ist eine Folgeveranstaltung der Vorlesung Angewandte Hyperkomplexe Funktionentheorie I. Man kann allerdings auch ohne die Kenntnisse in diese Vorlesung einsteigen.

Zunächst geben wir eine Einführung in die verallgemeinerte Funktionentheorie des Operators $D-\lambda$. Hierbei ist $D = \sum_{i=1}^3 \frac{\partial }{\partial x_i} e_i$ der dreidimensionale Dirac-Operator und $\lambda$ eine beliebige komplexe Zahl. Im Falle $\lambda =0$ führt dies auf die spezielle Funktionentheorie, die wir in der vorherigen Veranstaltung studiert haben. Wir führen zugehörige Integraloperatoren und Funktionenräume ein.

Danach behandeln wir konkrete Probleme aus der Elektrodynamik. Insbesondere studieren wir mit diesen neuen Methoden die Maxwellschen Gleichungen und die Helmholtzgleichungen in bestimmten Klassen von radialsymmetrischen Gebieten. Danach behandeln wir erstmalig mit dem hyperkomplexen Operatorkalkuel die inkompressiblen magnetohydrodynamischen Gleichungen, die eine Kopplung der Navier-Stokesgleichungen mit den Maxwellschen Gleichungen darstellen. 

Insbesondere behandeln wir die Modellierung der physikalischen Prozesse und bringen den/die TeilnehmerIn an den aktuellen Stand der Forschung heran.

Voraussetzungen

1. Einführende Veranstaltung in die Funktionentheorie einer komplexen Variablen und Grundlagen der reellen Analysis in mehreren Veränderlichen

2. Lineare Algebra I

3. Angewandte Hyperkomplexe Funktionentheorie I ist von Vorteil aber nicht unbedingt erforderlich

Sprache

Deutsch. Auf Wunsch der Studenten kann diese Lehrveranstaltung auch in Englisch gehalten werden.

Literatur

1. K. Gürlebeck, K. Habetha, W. Sprößig: Funktionentheorie in der Ebene und im Raum, Birkhäuser, Basel, 2006.

2. K. Gürlebeck, W. Sprößig: Quaternionic Analysis and Elliptic Boundary Value Problems, Birkhäuser, Basel 1990

3. K. Gürlebeck, W. Sprößig: Quaternionic and Clifford Calculus for Physicists and Engineers. John Wiley & Sons, Chichester-New York, 1997.

4. R. S. Kraußhar: Generalized Automorphic Forms in Hypercomplex Spaces, Birkhäuser, Basel, 2004

5. Aktuelle Forschungsartikel

Folgeveranstaltung

Angewandte Hyperkomplexe Funktionentheorie III ( geplant für WS 2010/11)

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