Vorlesung Angewandte Hyperkomplexe Funktionentheorie I

Dozent: PD Dr. Sören Kraußhar
Zeit und Ort der Vorlesung:
Mittwoch 14.05 Uhr bis 15.35 Uhr, Raum P1.408
Starttermin: 14. Oktober 2009
Sprechzeiten:
Freitag 10.15 Uhr bis 11.15 Uhr

Vorlesungsinhalte

1. Quaternionen

2. Verallgemeinerter Holomorphiebegriff und Grundlagen der Funktionentheorie in H

3. Integralsätze 

4. Quaternionische Integraloperatoren und Funktionenräume

5. Partielle Differentialgleichungen und Randwertprobleme aus der harmonischen Analysis

6. Das Stokes- und Navier-Stokessystem

7. Kopplungen des Navier-Stokessystems mit der Wärmeleitungsgleichung

Beschreibung

Partielle Differentialgleichungen beschreiben hochkomplexe Prozesse in der Physik und den modernen Ingenieurswissenschaften. Zu den bisher noch teilweise ungelösten Milleniumproblemen gehören Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen für nicht-lineare strömungsdynamische Prozesse, die durch die Navier-Stokesgleichungen beschrieben werden.

Insbesondere ist man sehr an Kopplungen des Navier-Stokes-Systems mit der Wärmeleitungsleichung (im Rahmen der Chip-Entwicklung) und den Maxwellschen Gleichungen (im Rahmen der aktuellen Plasmaforschung) interessiert.

Ein besseres Verständnis der Theorie würde einen erheblich Fortschritt in der Entwicklung von effizienten und stabileren Berechnungs- und Simulationsverfahren liefern.

Die bisher existierenden Methoden liefern oft nur in besonderen Fällen brauchbare Resultate. Zum Beispiel in der Simulation real existierender magnetohydrodynamischer Phänomene im Sonnenplasma stellen die großen Entfernungsskalen ein Problem dar, da bisherige Methoden auf die Verwendung von sehr kleinen Zeitschrittweiten basieren.

In dieser Vorlesung bieten wir eine Einführung in einen neuartigen Zugang zur Behandlung solcher komplexer Systeme von Differentialgleichungen. Hierzu benutzen wir moderne Methoden aus der hyperkomplexen Funktionentheorie, die ein weltweit aktuelles und schnell wachsendes Forschungsgebiet darstellt.

Mit Hilfe von hyperkomplexen Differential- und Integraloperatoren gewinnen wir neue theoretische Resultate über die Struktur und Regularität der Lösungen zu diesen komplexen Systemen. Ferner bekommen wir explizite Lösungsdarstellungen in Form dieser Operatoren, die wir dazu verwenden können, um neue Berechnungsalgorithmen bereitzustellen.

Diese Vorlesung führt in diese Problematik ein. Insbesondere behandeln wir die Modellierung der physikalischen Prozesse und bringen den/die TeilnehmerIn an den aktuellen Stand der Forschung heran.

Voraussetzungen

1. Einführende Veranstaltung in die Funktionentheorie einer komplexen Variablen und Grundlagen der reellen Analysis in mehreren Veränderlichen

2. Lineare Algebra I

Sprache

Deutsch. Auf Wunsch der Studenten kann diese Lehrveranstaltung auch in Englisch gehalten werden.

Literatur

1. K. Gürlebeck, K. Habetha, W. Sprößig: Funktionentheorie in der Ebene und im Raum, Birkhäuser, Basel, 2006.

2. K. Gürlebeck, W. Sprößig: Quaternionic Analysis and Elliptic Boundary Value Problems, Birkhäuser, Basel 1990

3. K. Gürlebeck, W. Sprößig: Quaternionic and Clifford Calculus for Physicists and Engineers. John Wiley & Sons, Chichester-New York, 1997.

4. R. S. Kraußhar: Generalized Automorphic Forms in Hypercomplex Spaces, Birkhäuser, Basel, 2004

Folgeveranstaltung

Angewandte Hyperkomplexe Funktionentheorie II (SS 2010)

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