Funktionalanalysis II im SS 2011

In dieser Vorlesung wird ein ausgewähltes Teilgebiet der nichtlinearen Funktionalanalysis behandelt, nämlich Differentialrechnung in Banach-Räumen und allgemeineren lokal konvexen topologischen Vektorräumen (einschließlich einer Diskussion analytischer Abbildungen). Einige Anwendungen in der klassischen Analysis und der Theorie der dynamischen Systeme werden gegeben.

Veranstaltungstermine

Vorlesung
Di,  16:00-17:40 Uhr in D1
Do, 14:00-15:40 Uhr in D1

Übung
Di, 14:15-15:45 Uhr in E2.304

Aktuelles

Hier finden Sie das Lemma vom 20.6. (nun mit Multilinearität im letzten Argument).

Und hier ein Beweis des Mittelwertsatzes für Funktionen auf nicht-offenen Mengen

Prüfungen / Leistungsnachweis

In der vorlesungsfreien Zeit finden mündliche Prüfungen für Bachelor/Master sowie zum Scheinerwerb statt.

Behandelter Stoff / Kurstagebuch

Kapitel 1: Lipschitzstetigkeit, Kontraktionen und Fixpunkte

Di, 5.4.2011 Lipschitzstetigkeit, Kontraktionen, Banachscher Fixpunktsatz, a priori-Abschätzung

Do, 7.4.2011 Satz über die Umkehrabbildung für Lipschitz-Störungen linearer Automorphismen (mit quantitativen Aussagen).
Folgerung: Globale Fassung.

Di, 12.4.2011 Lokale Lipschitzstetigkeit.
Gleichmäßige Familien von Kontraktionen.
Parameterabhängigkeit von Fixpunkten (stetig, Lipschitz-stetig, lokal Lipschitz-stetig).

Kapitel 2: Anwendung: Linearisierungssatz von Grobman-Hartman (globale Fassung)

Begriff eines (zeitdiskreten) dynamischen Systems (X,f);
topologische Konjugiertheit dynamischer Systeme;
hyperbolische Automorphismen von Banachräumen;
stabile bzw. unstabile Unterräume.
Formulierung des Satzes von Grobman-Hartman für beschränkte Lipschitz-Störungen hyperbolischer Automorphismen.
Der Banach-Raum BC(X,E) der beschränkten, stetigen E-wertigen Funktionen auf X.

Do, 14.4.2011 Die linearen Operatoren A_* : BC(X,E) -> BC(X,F) und g^* : BC(Y,E) -> BC(X,E)
Beginn des Beweises des Satzes von Grobman-Hartman.

Di, 19.4.2011 Beweis des Satzes beendet.

Kapitel 3: Weitere Sätze über Umkehrfunktionen und implizite Funktionen; erste Ergebnisse zu Differenzierbarkeit

Totale Differenzierbarkeit und strikte Differenzierbarkeit für Abbildungen zwischen offenen Teilmengen normierter Räume.
Satz über die Umkehrfunktion für strikt differenzierbare Funktionen.

Do, 21.4.2011 Kompositionen strikt differenzierbarer Abbildungen.
Ein Satz über stetige bzw. lokal lipschitzstetige implizite Funktionen.

Kapitel 4: Differenzierbare Kurven in lokalkonvexen Räumen

Di, 26.4.2011 C^1-Kurven, schwache Integrale, Integralabschätzung, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für Kurven in lokal konvexen Räumen

Do, 28.4.2011 Gleichmäßig stetige Abbildungen in lokalkonvexe Räume, Existenz schwacher Integrale in vollständigen Räumen

Di, 3.5.2011: Existenz schwacher Integrale in folgenvollständigen Räumen. Lemma von Wallace. Stetigkeit parameterabhängiger Integrale. C^k-Kurven und glatte Kurven. Mackey-vollständige Räume

Kapitel 5: Stetig Frechet-differenzierbare Abbildungen

Definition von FC^1-Abbildungen, Beispiele (stetige lineare Abbildungen, stetige bilineare Abbildungen)

Do, 5.5.2011 Kettenregel, Mittelwertsatz, Funktionen mit f'=0; Bezug zu strikter Differenzierbarkeit.

Kapitel 6: FC^k-Abbildungen

Di, 10.5.2011 Definition und Beispiele; Kettenregel für FC^k-Abbildungen. Neumannsche Reihe, Offenheit von GL(E)

Do, 12.5.2011 Umkehrsatz und Satz über implizite Funktionen für FC^k-Funktionen.

Kapitel 7: Hilfsmittel: Nichtlineare Abbildungen zwischen Folgenräumen

Stetigkeit von Abbildungen der Form c_0(f) : c_0(E) -> c_0(F), x |-> f o x

Di, 17.5.2011 Differenzierbarkeit von c_0(f)

Kapitel 8: Anwendung: Konstruktion stabiler Mannigfaltigkeiten

Weitere Anwendung im Bereich dynamischer Systeme: Konstruktion stabiler Mannigfaltigkeiten um hyperbolische Fixpunkte mit der Irwinschen Methode, unter Benutzung von Kapitel 7. Beweis begonnen.

Do, 19.6.2011 Beenden des Beweises.

Kapitel 9: Elementare Theorie von Differentialgleichungen

Di, 24.5.2011 Quantitativer Existenz-und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf; Variante des Satzes mit Parametern

Do, 26.5.2011 Eindeutigkeitssatz und qualitativer Existenzsatz von Picard-Lindelöf. Maximale Lösungen; maximale Lösungen linearer Dgln.

Di, 31.5.2011 Voriger Beweis beendet. Stetige Abhängigkeit der Lösungen von Anfangswerten und Parametern

Di, 7.6.2011 Voriger Beweis beendet. Flüsse (für Differentialgleichungen in Banach-Räumen).

Di, 14.6.2011 Verhalten nicht global definierter maximaler Lösungen.

Kapitel 10: C^1-Funktionen zwischen lokalkonvexen Räumen

Definition, Beispiele, Mittelwertsatz. Algebren mit stetiger Inversion. Stetige Fortsetzung von Differenzenquotienten.

Do, 16.6.2011 Kettenregel für C^1-Funktionen, Linearität von df(x,y) in y

Kapitel 11: C^k-Funktionen zwischen lokalkonvexen Räumen

Definition, Beispiele, Kettenregel. Abbildungen in Produkte.

Di, 21.6.2011 Lemma über partielle Differentiale. Höhere Ableitungen und der Satz von Schwarz.

Kapitel 12: Taylorentwicklung und homogene Polynome

Satz von Taylor für C^k-Kurven.

Di, 28.6.2011 Satz von Taylor für C^k-Funktionen. Homogene Polynome, Polynome, Polarisationsformel.

Kapitel 13: Vergleich von C^k-Abbildungen und FC^k-Abbildungen

Do, 30.6.2011 Jede FC^k-Abbildung ist C^k; jede C^{k+1}-Abbildung ist FC^k (zwischen normierten Räumen).

Kapitel 14: Differenzierbare Abbildungen auf nicht-offenen Mengen

Fr, 1.7.2011 Lokal konvexe Teilmengen lokal konvexer topologischer Vektorräume; C^k-Funktionen und FC^k-Funktionen auf nicht offenen Mengen. Mittelwertsatz

Di, 5.7.2011 Kettenregel, C^k- (bzw. FC^k-) Abhängigkeit von Fixpunkten von Parametern

Do, 7.7.2011 Diskussion der Parameterabhängigkeit beendet. Anwendung: Allgemeinere Sätze über implizite Funktionen.

--------------- Stand der Vorlesung ---------------

Kapitel 15: Komplex analytische Abbildungen zwischen lokalkonvexen Räumen

Kapitel 16: Beispiel: Holomorpher Funktionalkalkül

Kapitel 17: Reell analytische Abbildungen


Weitere Optionen (zeitlich wohl nicht machbar)

Anhang A: Hilfsmittel: Nichtlineare Abbildungen zwischen Räumen stetiger Funktionen

Anhang B: C^k-Abhängigkeit der Lösungen zu ODEs von Anfangswerten und Parametern

Anhang C: Räume von C^k-Funktionen und Abbildungen zwischen solchen

Anhang D: Exponentialgesetze

Anwendung: Glatte Fortsetzung von Funktionen

Anhnag E: Differenzierbare Abbildungen auf metrisierbaren Räumen