Reelle sphärische Räume

 

Seit etwa 5 Jahren interessiere ich mich für die Geometrie, Analysis und Darstellungstheorie von reellen sphärischen Räumen.

Ein zu einer reellen reduktiven Gruppe G assoziierter homogener Raum Z=G/H heißt reell sphärisch, falls eine minimale parabolische Untergruppe P von G eine offene Bahn auf Z hat. Erstaunlicherweise sind reell sphärische Räume mit H reduktiv bestimmbar und man erhält eine Liste, welche die Klassifikationen von Cartan, Berger, Krämer und Brion-Mikityuk umfasst.

Ziel ist es, das Plancherel-Theorem (vollständige Frequenzanalyse) für L2 (G/H) zu beweisen. Die geometrischen Vorarbeiten hierzu sind abgeschlossen; diese waren: Lokaler Struktursatz, Polarzerlegung mit Charakterisierung der Geometrie im Unendlichen durch den Kompressionskegel, kleine Weyl-Gruppe mit eingeschränktem Wurzelsystem sowie äquivariante Kompaktifizierungen.  Aus analytischer Sicht sind die Vorbereitungen ebenfalls beendet; diese waren: Potenzreihenentwicklung von verallgemeinerten Matrixkoeffizienten auf dem Kompressionskegel, Beschreibung des temperierten und quadratintegrierbaren Spektrums via Führungskoeffizienten, Formulierung und Beweis des temperierten Einbettungssatzes, welcher Z-temperierte Darstellungen durch quadratintegrierbare charakterisiert, Definition des konstanten Terms verallgemeinerter Matrixkoeffizienten und quantitative Approximation ebendieser und schliesslich das Theorem, daß die Parameter der (relativ) quadratintegrierbaren Darstellungen (relativ) ganzzahlig sind.

Seien nun S die Menge der sphärischen Wurzeln, welche zu Z assoziiert sind.  Für jede Teilmege IS sei YI  die zugehörige G-Bahn in einer Standardkompaktifizierung von G und ZI =G/Hmit HI dem generischen Stabilisator im Normalenbündel zu YI . Die ZI  sind als Deformationen von Z wieder reell sphärisch Der Bernstein-Morphismus ist nun eine gewisser G-äquivarianter Morphismus von Hilberträumen 

B:  ⊕I⊆S L2 (G/HI)disc →  L2 (G/H)

welcher isospektral und surjektiv ist.  Hier wurde mit ''disc'' das getwistete diskrete Spektrum bezeichnet, wobei sich  ''getwistet'' auf eine Torus-Wirkung eines nicht-kompakten Torus AI  im Normalisator von HI bezieht. Für symmetrische Räume ist der duale Morphismus Bim Wesentlichen die Fourier-Transformation.  Mit der Implementierung von reduziert sich die Plancherel-Theorie auf das alleinige Verständnis des diskreten Spektrums. Den Bernstein-Morphismus haben wir konstruiert und zum vollständigen Verständnis von L2 (G/H)  verbleibt die Bestimmung von ker B (Streurelationen) sowie eine geometrische Charakterisierung des diskreten Spektrums, i.e. das Analogon zur Harish-Chandra-Charakterisierung:  L2 (G) ≠∅ ⇔ Es gibt eine kompakte Cartan-Untergruppe von G.  Mit Bezug auf das Letztere:  es  fehlt noch die geometrisch hinreichende Bedingung "⇒".

 

 

Arbeiten zu diesem Themenkomplex finden sich hier: 

 

Reductive group actions (mit F. Knop)

The constant term of tempered functions on a real spherical space (mit P. Delorme und S. Souaifi)

Classification of reductive real spherical pairs II. The semisimple case (mit F. Knop, H. Schlichtkrull und T. Pecher)

Classification of reductive real spherical pairs I. The simple case (mit F. Knop, H. Schlichtkrull und T. Pecher; erscheint in Transformation Groups)

Geometric counting on wavefront real spherical spaces (mit E. Sayag und H. Schlichtkrull; erscheint in Acta Math. Sinica)

Harmonic analysis for real spherical spaces (mit H. Schlichtkrull; erscheint in Acta Math. Sinica)

The tempered spectrum of a real spherical space (mit F. Knop und H. Schlichtkrull;  erscheint in Acta Mathematica)

Hausdorffness for Lie algebra homology of Schwartz spaces and applications to the comparison conjecture  (mit A. Aizenbud, D. Gourevitch und G. Liu) [Math. Z. 286 (2016), 979-992 and 993-994]

The harmonic analysis of lattice counting on real spherical spaces (mit E. Sayag und H. Schlichtkrull) [Documenta math. 21 (2016), 627-660]

Volume growth, temperedness and integrability of matrix coefficients on a real spherical space (mit F. Knop, E. Sayag und H. Schlichtkrull) [J. Funct. Anal. 271 (2016), 12-36]

Simple compactifications and polar decomposition of homogeneous real spherical spaces (mit F. Knop, E. Sayag und H. Schlichtkrull) [Selecta Math. N.S. 21 (2015), 1071-1097]

The local structure theorem for real spherical varieties (mit F. Knop und H. Schlichtkrull) [Compositio Math., 151 (2015), 2145-2159]

Multiplicity bounds and the subrepresentation theorem for real spherical spaces (mit H. Schlichtkrull) [Trans. Amer. Math. Soc. 368 (2016), 2749-2762]

Finite orbit decomposition of real flag manifolds (mit H. Schlichtkrull) [J. Eur. Math. Soc. 18 (6) (2016), 1391-1403]

Decomposition Theorems for Triple Spaces (mit T. Danielsen und H. Schlichtkrull) [Geom. Dedicata 174  (2015), 145-154]

Decay of matrix coefficients on reductive homogeneous spaces of spherical type (mit E. Sayag und H. Schlichtkrull) [Math Z. 278 (2014), 229-244]

 

Andere neuere Arbeiten

 

Vanishing at infinity on homogeneous spaces of reductive type (mit E. Sayag und H. Schlichtkrull) [Compositio Math. 152(7) (2017), 1385-1397]

Smooth Frechet globalizations of Harish-Chandra modules  (mit J. Bernstein) [Israel J. Math. 199 (2014), 45-111]

 

Obige Forschung wurde durch den ERC-Advanced Investigators Grant HARG 268105 (2011 - 2015) mit insgesamt vier Forschungsfreisemestern ermöglicht. 


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